Ecuación de Primer Grado

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En todo anillo conmutativo pueden definirse ecuaciones de primer grado.



Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.

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El adjetivo algebraico

El adjetivo algebraico denota usualmente una relación con el álgebra, como por ejemplo en estructura algebraica. Por razones históricas, también puede indicar una relación con las soluciones de ecuaciones polinomio, números algebraicos, expresión algebraica o expresión algebraica. Conviene distinguir entre:

Álgebra elemental es la parte del álgebra que se enseña generalmente en los cursos de matemáticas.
Álgebra abstracta es el nombre dado al estudio de las «estructuras algebraicas» propiamente.

El álgebra usualmente se basa en estudiar las combinaciones de cadenas finitas de signos y , mientras que análisis matemático requiere estudiar límites y sucesiones de una cantidad infinita de elementos.

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El Álgebra

El álgebra es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la arismetica en l álgebra moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la aritmética (álgebra abstracta, álgebra homologica, álgebra exterior, etc.)
El adjetivo «algebraico» denota usualmente una relación con el álgebra, como por ejemplo en estructura algebraica. Por razones históricas, también puede indicar una relación con las soluciones de ecuaciones, polinomios, números algebraicos, extensión algebraica o expresión algebraica. Conviene distinguir entre:
Álgebra elemental es la parte del álgebra que se enseña generalmente en los cursos de matemáticas.

En álgebra elemental, una expresión puede contener números, variables y operaciones aritméticas. Por convención, éstos generalmente se escriben con los términos con exponente más altos a la izquierda (ver polinomio); algunos ejemplos son:




Álgebra abstracta es el nombre dado al estudio de las estructuras algebraicas propiamente.
El álgebra usualmente se basa en estudiar las combinaciones de cadenas finitas de signos y , mientras que análisis matemático requiere estudiar límites y sucesiones de una cantidad infinita de elementos.
Un ejemplo El estudio sistemático del álgebra ha permitido a los matemáticos llevar bajo una descripción lógica común conceptos aparentemente distintos. Por ejemplo, podemos considerar dos operaciones bastante distintas: la composición de aplicaciones, , y el producto de matrices, . Estas dos operaciones son, de hecho, la misma. Podemos ver esto, informalmente, de la siguiente forma: multiplicar dos matrices cuadradas por un vector de una columna, . Esto, de hecho, define una función que es equivalente a componer con = = . Las funciones bajo composición y las matrices bajo multiplicación forman estructuras llamados monoides. Un monoide bajo operación es asociativo para todos sus elementos y contiene un elemento tal que, para cualquier valor de , . Ciertamente, que dos conjuntos isomorfos se consideran idénticos, lo que interesan son las operaciones y sus leyes en dichos conjuntos.
El álgebra en la antigüedad

Las raíces del álgebra pueden rastrearse hasta la antigua matemática babilónica,7 que había desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algorítmica. Con el uso de este sistema lograron encontrar fórmulas y soluciones para resolver problemas que hoy en día suelen resolverse mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indeterminadas. En contraste, la mayoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de los matemáticos griegos y chinos del primer milenio antes de Cristo, normalmente resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos, tales como los descritos en el Papiro de Rhind, Los Elementos de Euclides y Los nueve capítulos sobre el arte matemático.

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Ejercicio No. 1

1¿cuales de las siguientes expresiones son monomios? En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente.

13x³

25x⁻³

33x + 1

4

5

6

7

2Realiza las sumas y restas de monomios.

12x²y³z + 3x²y³z =

22x³ − 5x³ =

33x⁴ − 2x⁴ + 7x⁴ =

42a²bc³ − 5a²bc³ + 3a²bc³ − 2 a²bc³ =

3Efectúa los productos de monomios.

1(2x³) · (5x³) =

2(12x³) · (4x) =

35 · (2x²y³z) =

4(5x²y³z) · (2y²z²) =

5(18x³y²z⁵) · (6x³yz²) =

6(−2x³) · (−5x) · (−3x²) =

4Realiza las divisiones de monomios.

1(12x³) : (4x) =

2(18x⁶y²z⁵) : (6x³yz²) =

3(36x³y⁷z⁴) : (12x²y²) =

4

5

6

5Calcula las potencias de los monomios

1(2x³)³ =

2(−3x²)³ =

3

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La importancia del Álgebra

Álgebra es la rama más importante de matemáticas. Su uso está en toda nuestra vida diaria. Ya que su nombre significa “la reducción” (álgebra viene del árabe al yabr) es muy útil para simplificar muchos trabajos y cuentas que usamos en todas las cosas.Para mí, álgebra se aplica cuando hacemos las compras. Como ejemplo; si compramos 5 lápices y 6 borradores, en nuestra mente se representa con 5a + 6b, y si nos da los valores/precios de a y b, nos facilita más para sacar el total de los precios. Otro ejemplo seria hacer inventarios. Cuando hago un inventario, podemos representar los artículos con una letra y numero para su cantidad, ósea 10x puede significar 10 piezas de “x” cosa.

Así como los simples usos de ejemplos anteriores, el álgebra también se puede usar en casos más complicados y su función es simplificarlos. También usamos álgebra en estudio de otras cosas, como calculo, geometría, física, química, estudio nuclear etc.
Siendo capaz de manejar álgebra en nuestra vida, podremos ahorrar mucho tiempo de trabajo, asegurar resultados más fiables. Doy un ejemplo de mi propia vida; cuando tengo que multiplicar 995 por 5 (995*5), yo simplemente los convierto en factores diferentes para facilitar mi operación. En mi mente lo convierto en (1000-5)*5 = 5000 – 25 = 4975, y así puedo dar una respuesta más rápido y sin tener que usar una fastidiosa calculadora. En mi vida personal también utilizo álgebra para crear inventarios, los aplico para mi control de agendas, para crear presupuestos de gastos etc.
Mi simple conclusión es que álgebra no es una simple materia, es una herramienta más equipada para el desarrollo de la vida tanto como para el desarrollo de otras ramas de estudio y si no usamos ese herramienta en nuestra vida sería el desperdicio total de nuestro conocimiento. Así que es muy importante estudiar álgebra y también practicarla.

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